Navigation




Проблемы математической физики II

2010-05-01, Естествознание , В. Зуев

,

В этой части статьи будет рассмотрена принципиальная сторона вопроса о правомочности применения дифференциальной формы второго закона Ньютона. Известно, что классическая механика, решая задачи движения тел, в своих математических уравнениях отводит роль независимой переменной времени (t). Здесь время предполагается абсолютным, однородным, все механические процессы в нём протекают однозначно в закономерной взаимосвязи. Это предположение является главным аргументом, подтверждающим правомочность применения математических выводов анализа бесконечно малых к решению задач движения тел на основе второго закона Ньютона. Полагаясь на абсолютную достоверность второго закона Ньютона в интегральной форме и применяя к нему математические выводы анализа бесконечно малых величин, классическая механика утверждает основное уравнение движения тела в дифференциальной форме:

Уравнение движения тела в дифференциальной форме.

Соотношение (1) представляет собой дифференциальную форму второго закона Ньютона, оно утве­рждает пропорциональность уско­рения тела действующей силе в лю­бой момент времени действия этой силы. Как интегральная, так и диф­ференциальная формы второго за­кона Ньютона непогрешимы по от­ношению к идеальным телам (абстракциям), с которыми имеет дело современная классическая механика и которые обладают толь­ко массой, но не обладают време­нем задержки (Δtз) начала измене­ния состояния движения тела как целого. Как указывалось в первой части статьи, для любого реального тела, обладающего массой, сущест­вует время задержки Δtз начала из­менения состояния движения его как целого. Это значит, что два ме­ханических процесса (процесс из­менения состояния движения тела как целого и процесс действия на тело силы), взаимосвязанных вто­рым законом Ньютона, протекают во времени не однозначно, т.е. пока тело массой (m) как целое приобре­тёт ускорение (w), пропорциональ­ное некоторому значению действу­ющей силы, проходит время Δtз с момента достижения действующей силой этого значения. Этот фактор является аргументом, который даёт основание сомневаться в безоши­бочности второго закона Ньютона в его обеих формах. Рассмотрим этот вопрос подробнее в отдельности для каждой из форм.

Пусть на тело массой (m) действу­ет постоянная сила F, при этом тело непрерывно изменяет своё состояние движения. Если не учитывать время задержки Д(з, т.е. представ­лять тело идеальным, и рассматри­вать во времени процесс изменения состояния движения тела как цело­го под действием постоянной силы Fc началом отсчёта времени с мо­мента начала действия этой силы, то за промежуток Δt изменение ско­рости тела как целого (ΔV) пропор­ционально этому промежутку вре­мени с коэффициентом пропорцио­нальности F/m:

Формула расчета изменения скорости под воздействием постоянной силы.

Если же учитывать время задерж­ки Δtз реальных тел и рассматри­вать во времени процесс изменения состояния движения тела как целого при тех же условиях, то за промежуток Δt с момента начала действия силы изменение скорости тела как целого ΔV пропорционально промежутку времени (Δt-Δtз) с коэффици­ентом пропорциональности F/m:

Скорость тела с учетом времени задержки.

Соотношение (2) в отличие от со­отношения (3), выражая зависи­мость между приращением скорости ΔV, действующей силой F и промежутком времени Δt для идеаль­ных тел (абстракций), не учитывает в промежутке времени время задержки Δtз начала изменения состояния движения реального тела как целого, а следовательно, не учитывает погрешности ΔVз в приращении скорости реального тела под действием постоянной силы F за время Δt с момента начала действия этой силы. Абсолютная величина этой погрешности определится:

Погрешность скорости тела с учетом времени задержки.

Из соотношения (4) следует, что абсолютная величина погрешности ΔVз в приращении скорости реального тела под действием постоянной силы F, есть величина постоянная для этого тела: ΔVз=(F/m)Δtз =Const, т.к. F=Const и Δt =Const. Относительная величина этой погрешности по отношению к приращению скорости идеального тела (абстракции) под действием постоянной силы F за время Δt определится:

Относительная величина погрешности скорости тела с учетом времени задержки.

где: Δtз - время задержки, начала из­менения состояния движения ре­ального тела как целого;

Δt - промежуток времени с момен­та начала действия силы, в котором определяется изменение скорости идеального тела (ΔVa) как целого.

Из соотношения (5) следует, что Δt, являясь независимой перемен­ной в обратно пропорциональной зависимости, влияет на величину относительной погрешности (ε). Для одного и того же тела, обладающего временем задержки (Δtз) относи­тельная погрешность (ε) в прираще­нии скорости тела под действием постоянной силы за время Δt с мо­мента начала действия этой силы по отношению к приращению скорости ΔVa идеального тела (абстракции) при тех же условиях зависит от про­межутка времени Δt, за который оп­ределяется ΔV. В отличие от проме­жутка времени Δt, которое в мате­матике может быть как бесконечно малой, так и относительно большой величиной, время задержки (Δtз) начала изменения состояния дви­жения тела как целого для любого реального тела, обладающего мас­сой, - конечная величина, отличная от нуля (различная для различных тел).

Время задержки Δtз реальных тел может быть очень малой величиной (также и относительно большой!), но не может быть бесконечно малой величиной. Исходя из этого, отно­сительная погрешность (ε) в прира­щении скорости реального тела под действием постоянной силы F за время Δt стремится к нулю при воз­растании Δt с момента начала действия силы, т.е. при относитель­но длительном действии силы на те­ло, когда Δt»Δtз. В этом случае от­носительная погрешности (ε) - дос­таточно малая величина (практичес­ки равна нулю). Здесь с достаточной для практики точностью в приклад­ном применении можно рассматри­вать тело, как абсолютно твёрдое, не учитывая его внутреннего состо­яния. И наоборот, относительная погрешность ε=Δtз/Δt стремится к бесконечности при Δt->0, т.к. Δtз - конечная величина, отличная от ну­ля, т.е. при относительно кратковременном действии силы или в на­чальный период её действия, когда Δt<<Δtз. В этом случае относитель­ная величина погрешности (ε) ста­новится большой и стремится к бес­конечности, т.е. тело как целое не изменяет своего состояния движе­ния, а действие силы воспринима­ется внутренней структурой тела и направлено на изменение внутрен­него состояния тела. Здесь с доста­точной для практики точностью можно не рассматривать тело как целое, обладающее конечной мас­сой, а рассматривать его внутрен­нюю структуру, как заполняющую всё пространство, с массой равной бесконечности.

Итак, интегральная форма второ­го закона Ньютона, выраженная со­отношением (2) не учитывает пог­решности ΔVз в приращении ско­рости реального тела под действи­ем постоянной силы за время Δt с момента начала действия силы, т.е. закон в его интегральной форме не­погрешимый для идеальных тел (абстракций), вносит погрешность для реальных тел Природы.

Абсолютная погрешность в прира­щении скорости реального тела под действием постоянной силы F за время Δt есть величина постоянная и не зависит от Δt. Относительная величина этой погрешности по от­ношению к приращению скорости идеального тела (абстракции) при тех же условиях может принимать любое значение от 0 до ∞ в зависи­мости от промежутка времени Δt, за которое определяется это прира­щение.

Учитывая эти обстоятельства, рассмотрим процесс изменения состояния движения тела как цело­го под действием переменной силы, причём сила, будучи переменной, пусть будет функцией времени F=F(t).

Классическая механика, изучая процессы движения тел под действием переменной силы, представляет тела идеальными (абстракциями) и пользуется интегральной формой второго закона Ньютона, применяя его в бесконечно малых. Для этого процесс изменения состояния дви­жения тела под действием переменной силы разбивают во времени на малые промежутки Δt так, чтобы внутри такого промежутка перемен­ную силу F(t) можно было прибли­жённо считать постоянной. B малом промежутке Δt классическая меха­ника считает приближённо справед­ливым соотношение (2), причём, чем меньше Δt, тем точнее выполня­ется это соотношение. Устремляя в этом соотношении Δt к нулю и заме­няя в нём ΔV на dV, классическая ме­ханика утверждает абсолютную дос­товерность соотношения (2) в диффе­ренциальной форме: dV={F(t)/m)dt. В этом и заключается математичес­кий приём анализа бесконечно ма­лых в применении к решению задач движения тел. Однако этот матема­тический приём, применённый к ре­шению задач движения абстрактных тел, приводит к принципиальной ошибке при использовании его для решения задач движения реальных тел, сущность которой заключается в следующем.

В отличие от постоянной силы F, которая принимает своё единствен­ное значение в один момент време­ни, являющийся началом отсчёта, переменная сила F=F(t) на протяже­нии всего времени действия меняет своё значение.

В любой момент времени пере­менная сила принимает значение, отличное от предыдущего. Если при постоянной действующей силе вре­мя задержки (Δtз) начала изменения состояния движения тела как цело­го проявляется однократно с мо­мента принятия постоянной силой своего единственного значения (с начала отсчёта во времени), то при переменной силе это время заде­ржки проявляется непрерывно во всё время её действия, т.к. в любой момент времени переменная сила принимает новое значение, а тело как целое способно приобрести ус­корение (w) пропорциональное это­му значению силы только по проше­ствии времени Δtз с момента дости­жения силой этого значения. Други­ми словами, любой момент во вре­мени действия переменной силы является началом отсчёта во време­ни для значения силы в этот момент. Каждый из промежутков Δt, на которые разбивают во времени процесс изменения состояния движения те­ла как целого под действием пере­менной силы, имеет своё начало отсчёта, в котором сила F=F(t) при­нимает своё значение, считающе­еся приближённо постоянным в данном промежутке времени Δt. Каждый такой промежуток рассмат­ривается как промежуток, в котором действует постоянная сила F с мо­ментом начала действия, совпадаю­щим с началом отсчёта Δt.

Таково, в общем предположении, объяснение физической сущности некоторых факторов, влияющих на время задержки (Δtз) начала изменения состояния движения тела как целого. Приближённая количественная оценка данным факторам может быть дана в результате тщательных теоретических и экспериментальных исследований, но при этом сам факт задержки во времени начала изменения состояния движения тела как целого является неотъемлемым природным свойством любого реального тела Природы.

Учитывая это обстоятельство, рассмотрим на принципиальной основе правомочность применения математических приёмов анализа бесконечно малых для определения математической зависимости параметров движения реальных тел Природы, наделенных ею неотъемлемым свойством - временем задержки (Δtз), которое может быть очень малым по величине, или даже абсолютно малым, но не может быть бесконечно малым.

Применяя в каждом Δt интегральную форму второго закона Ньютона, выраженную соотношением (2), классическая механика не учитывает погрешности в приращении скорости реального тела, абсолютная величина которой в данном промежутке Δt приближённо постоянная и равна:

Погрешность скорости тела с учетом времени задержки.

где: F(ti) - приближённое среднее значение переменной силы в дан­ном промежутке Δt;

Δtз - время задержки начала изменения состояния движения тела как целого.

Относительная величина этой пог­решности по отношению к ΔV идеального тела при тех же условиях определится из соотношения (5). При переходе к пределу, когда Δt->0, относительная погрешность ε={Δtз/Δt)->∞, т.к. Δtз - постоянная величина, отличная от нуля. Другими словами, дифференциальная форма второго закона Ньютона не верна, т.е. изменение скорости тела как целого в любой момент времени непропорционально значению действующей силы в этот момент времени: m(d2x/dt2)≠F{t).

Если обратиться к соотношению (3), которое выражает зависимость в интегральной форме между ΔV, F, Δt учётом Δtз, то математическое выражение этой зависимости пока­зывает, что соотношение (3) невоз­можно использовать в бесконечно малых. И действительно, стремление Δt как независимой переменной к нулю оказывается ограниченным постоянной величиной Δtз, т.к. при Δt=Δtз Δt=(F/m)(Δt-Δtз)=0, а при всяком Δt<Δtз время в соотношении (3) становится отрицательным, что противоречит физическому смыслу времени. Это значит, что, разбивая во времени процесс изменения состояния движения тела как целого под действием переменной силы на промежутки Δt и уменьшая эти промежутки с тем, чтобы применять в каждом из них с достаточной точностью зависимость между ΔV, Δt и средним значением силы (Fnз) за этот промежуток времени в интегральной форме, мы не можем в любом таком промежутке Δt=Δtз утверждать какую-либо определенную математическую зависимость между изменением скорости тела как целого и действующей силой, т.к. тело в целом в промежутке Δt=Δtз с момента достижения силой некоторого значения не реагирует на это значение силы.

Итак, дифференциальная форма второго закона Ньютона не верна, интегрирование полученного на этой основе дифференциального уравнения движения реального тела приведёт к ошибочному уравнению движения тела в интегральной форме. Абсолютная погрешность в значениях координаты x(t), найденной из уравнения движения тела, полученного в результате интегрирования дифференциального уравнения движения тела, есть величина переменная во времени, зависит от ха­рактера изменения действующей силы на тело и времени задержки (Δtз) начала изменения состояния движения тела как целого. В частности, при постоянной действующей силе абсолютная погрешность в значениях координаты x(t) является линейной функцией времени Δx=(F/m)Δtз·t.

Проблемы математической физики I
Проблемы математической физики II
Проблемы математической физики III
Проблемы математической физики IV
Проблемы математической физики V

Журнал «Инженер», Наука, техника, производство, образование. гл. ред. К.М. Емельянова. «Проблемы классической математической физики в познании процессов природы» В. Зуев. стр. 6-10. Москва, ноябрь 2009. 40 с.

Другие статьи на подобные темы:
Почему мы доверяем науке?
Загадка «торсионных» полей
ГМП 40RH, 42RH, 42RE, 46RH, 46RE, 47RH
Частная теория относительности
Неизвестные следствия теорий Эйнштейна


Теория происхождения культурных растений

2016-10-15, Естествознание, Светлана Аксенова,

Основоположник российской селекции Николай Иванович Вавилов родился в 1887 г. в Москве. С юных лет его интересовала окружающая природа. Ещё будучи студентом Московского сельскохозяйственного института, он занимался проблемой иммунологии растений. Впоследствии Н.И. Вавилов много путешествовал, собирая коллекции различных культурных растений и общаясь с видными учеными Англии, Франции, Германии. Неоднократно он ездил с научной целью в Азию — Иран, Бухару, Афганистан, бывал на Кавказе. На основе собранных коллекций семян и гербариев Н.И. Вавилов готовил серьезный обобщающий труд по селекции и генетике растений.

Подробно


Биоценоз и экосистема

2016-04-21, Естествознание, А.В. Ганжина,

На основе биотических взаимоотношений создаются сообщества растительных и животных организмов — биоценозы.

Подробно


Теория отражения

2016-04-07, Естествознание, Константин Платонов,

Любой живой организм беспрерывно взаимодействует с окружающей средой, в результате чего происходит его развитие.

Подробно


Структура периодической таблицы химических элементов

2016-03-13, Естествознание, Н. Ахметов,

Химию можно определить как науку, изучающую вещества и процессы их превращения, сопровождающиеся изменением состава и строения. В химическом процессе происходит перегруппировка атомов, разрыв химических связей в исходных веществах и образование химических связей в продуктах реакции. В результате химических реакций происходит превращение химической энергии в теплоту, свет и пр.

Подробно


Периодическая система химических элементов

2016-04-01, Естествознание, Светлана Аксенова,

Дмитрий Иванович Менделеев родился в г. Тобольске 8 февраля 1834 г. Окончив в 1855 г. Главный педагогический институт в Петербурге, он служил учителем гимназии в г. Одессе. В 1857 г. Менделеев вернулся в столицу, а с 1865 г. получил профессорскую должность в Петербургском университете.

Подробно


Точка зрения администрации сайта может не совпадать с мнением авторов.
2010-2017 © Анидор
Любое использование материалов сайта, полностью или частично, разрешается только с согласия правообладателя.
Если Вы обнаружили опечатку или неработающую ссылку, просьба сообщить администрации сайта.